Die konsistente Modellierung mehrerer Zufallsvariablen benötigt geeignete multivariate stochastische Modelle. Diese müssen in der Lage sein, sowohl die Randverteilungen als auch die vielseitigen Abhängigkeiten und Wechselwirkungen zwischen den stochastischen Größen zu beschreiben. Speziell in der Finanz- und Versicherungsindustrie werden multivariate stochastische Modelle intensiv genutzt. Klassische Anwendungsgebiete reichen von der Portfoliooptimierung über die Bewertung von Multi-Asset Optionen und Derivaten auf Kreditportfolios bis hin zu verschiedensten Fragestellungen im Bereich Risikomanagement.
Eine relativ neue Anwendung, bei der Abhängigkeiten eine große Rolle spielen, sind Kontrahentenrisiken und deren Berücksichtigung in der Bewertung von Finanzkontrakten.
Copulas sind das beliebteste Werkzeug, um multivariate stochastische Modelle zu konstruieren. Das fundamentale Theorem von A. Sklar aus den 1950ern besagt, dass die Konstruktion solcher (oft sehr komplexer) Modelle in zwei einfacheren Teilschritten möglich ist: Zunächst werden die Randverteilungen spezifiziert, dann werden diese mittels einer Copula zu einer multivariaten Verteilung verbunden. Dieser Ansatz erlaubt das Design von Modellen mit sehr flexiblen Rändern (beispielsweise Gauss-, Pareto-, Weibullverteilung, etc.) und passender Abhängigkeitsstruktur. Auch umgekehrt lässt sich jede multivariate Verteilung in ihre Randverteilungen sowie die Copula aufspalten, diese können dann getrennt analysiert werden.
Das Buch von Jan-Frederik Mai und Matthias Scherer bietet einen exzellenten und sehr tiefen Überblick über die Welt der Copulas. Ein spezieller Fokus wird auf Problemstellungen und Methoden gelegt die für verschiedenste Finanzanwendungen wichtig sind. Nachdem im ersten Kapitel die Grundlagen zu Copulas und Abhängigkeitsmaßen gelegt wurden, werden in den folgenden Kapiteln die wichtigsten Familien an Copulas eingeführt (Elliptische Copulas, Archimedische Copulas, Marshall-Olkin Copulas) sowie generelle Konstruktionsprinzipien wie Faktor-Modelle besprochen. Desweiteren enthält das Buch ein Kapitel (beigesteuert von C. Czado und J. Stöber) über die sogenannte Pair-Copula-Konstruktion, einem neuen Bauprinzip für hochdimensionale Copulas aus bivariaten Bausteinen.
Weite Teile des Buches beschäftigen sich mit der Frage, wie flexible und hochdimensionale Modelle konstruiert werden können, für die zudem eine effiziente Monte-Carlo Simulation implementiert werden kann. Viel Wert wird auf Modelle mit interessanten stochastischen Eigenschaften gelegt (beispielsweise Tail-Abhängigkeiten, hierarchische Strukturen). Mit solchen Modellen kann das in der Praxis nach wie vor weit verbreitete Gauß-Paradigma erfolgreich überwunden werden.
Einen Hauptfokus legt das Buch auf Simulationstechniken. Solche Methoden werden immer dann benötigt, wenn analytische Lösungen für komplexe Probleme nicht bekannt sind, was bei multivariaten Modellen eher Regel denn Ausnahme ist. In diesem Fall liefert eine Monte-Carlo-Simulation eine elegante Möglichkeit die Zielgrößen numerisch zu bestimmen. An dieser Stelle ist wichtig zu erwähnen, dass Algorithmen für die Simulation multivariater Verteilungen mit beliebigen Randverteilungen leicht aus Algorithmen zur Simulation von Copulas gewonnen werden können. In diesem Kontext sind zwei Kapitel (beigesteuert von Elke und Ralf Korn) besonders hervorzuheben, sie behandeln eindimensionale Simulationsverfahren sowie eine generelle Einleitung zu Monte-Carlo Verfahren.
Das Buch eignet sich gut für Risikomanager und Finanzingenieure. Auch ist das Buch als Lehrbuch für fortgeschrittene Bachelor- und Masterstudenten geeignet, notwendig sind allein statistische und stochastische Grundlagen aus dem Bachelorstudium. Alle Resultate sind stringent bewiesen, häufig sehr elegant mittels neuer stochastischer Methoden, oder es wird eine Referenz für den Originalbeweis gegeben. Die Literaturübersicht ist sehr ausführlich und kann gut als Wegweiser durch das mittlerweile sehr große Forschungsgebiet genutzt werden.
Das Buch ist durch seine große Anzahl an Beispielen sowie die Vielzahl an Abbildungen leicht zu lesen. Darüber hinaus sind alle Algorithmen als Schritt-für-Schritt Anleitung beschrieben und können so leicht nachimplementiert werden. Dies erhöht den praktischen Wert des Buches maßgeblich.
Zusammengefasst ist mein Eindruck des Buches sehr positiv. Ich möchte es ausdrücklich allen empfehlen, die eine Einführung in Copulas suchen, mit zeitgemäßen Methoden zur Abhängigkeitsmodellierung arbeiten, oder im Bereich Copulas forschen.
Autor der Rezension: Prof. Dr. Fabrizio Durante, Free University of Bozen-Bolzano
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