Galton-Brett

Viele natur-, wirtschafts- und ingenieurswissenschaftliche Vorgänge (beispielsweise Körpergröße von Menschen, Qualitätsabweichungen bei der Schraubenproduktion, Größe von Hühnereiern) lassen sich mit Hilfe der Normalverteilung entweder exakt oder wenigstens in sehr guter Näherung beschreiben (vor allem Prozesse, die in mehreren Faktoren unabhängig voneinander in verschiedene Richtungen wirken).

Nach Francis Galton (* 16. Februar 1822 in Sparkbrook, † 17. Januar 1911 in Haslemere) sind exakt zwei Bedingungen erforderlich, damit Beobachtungen normal oder symmetrisch um ihren Durchschnittswert verteilt sind. Erstens muss eine möglichst große Anzahl von Beobachtungen gegeben sein. Zweitens müssen die Beobachtungen voneinander unabhängig sein, wie etwa die Würfe eines Würfels. So weist er darauf hin, dass gravierende Fehler gemacht werden, wenn Stichproben verwendet werden, die nicht voneinander unabhängig sind.

Gemeinsam mit seinem Freund, dem britischen Mathematiker Karl Pearson (* 27. März 1857 in London, † 27. April 1936 in Coldharbour), entwickelte Galton den Korrelationskoeffizienten, war in den 1870er und 1880er Jahren Pionier im Gebrauch der Normalverteilung und führte die Methode der Regression ein. Außerdem entwickelte er das Galtonbrett, ein Modell zur Demonstration von Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Das Galtonbrett besteht aus einer regelmäßigen Anordnung von Hindernissen, an denen eine von oben eingeworfene Kugel jeweils nach links oder rechts abprallen kann. Nach dem Passieren der Hindernisse werden die Kugeln in Fächern aufgefangen, um dort gezählt zu werden. In diesem Kontext wird deutlich, dass jedes Aufprallen einer Kugel auf eines der Hindernisse ein Bernoulli-Versuch ist. Die beiden möglichen Ausgänge sind "Kugel fällt nach rechts" (X=1) und "Kugel fällt nach links" (X=0).

Bei symmetrischem Aufbau ist die Wahrscheinlichkeit, nach rechts zu fallen, P(1) = p = ½ und die Wahrscheinlichkeit, nach links zu fallen, P(0) = q = ½. Durch unsymmetrischen Aufbau oder durch Schiefstellen des Brettes kann man einen anderen Wert für p erreichen, wobei aber natürlich weiterhin q = 1 − p gilt, denn die Kugeln, die nicht nach rechts fallen, fallen nach links.

Indem die Kugel nach Passieren des ersten Hindernisses auf ein neues trifft, bei dem die gleichen Voraussetzungen gelten, wird hier ein weiterer Bernoulli-Versuch durchgeführt. Das Durchlaufen des ganzen Gerätes ist also eine mehrstufige Bernoulli-Kette, wobei die Zahl der waagerechten Reihen von Hindernissen die Länge dieser Kette ist. In der folgenden Tabelle ist die viermalige Wiederholung eines Bernoulli-Versuchs zusammengefasst, d. h. eine Bernoulli-Kette der Länge 4.

Man erkennt, dass die Zähler die Binomialkoeffizienten sind, denn sie entstehen nach dem Schema des Pascal'schen Dreiecks. Die Nenner sind Potenzen von 2, sie folgen aus der Wahrscheinlichkeit p = q = ½, nach rechts bzw. links zu fallen.

Hierbei wird deutlich, dass bei einer immer feineren Aufteilung näherungsweise eine Normalverteilung erreicht wird.